BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar
Belakang
Pohon didefinisikan
sebagai suatu graf tak berarah terhubungkan (connected undirected graph) yang
tidak mengandung rangkaian sederhana. Pohon adalah bentuk khusus dari suatu
graf yang banyak diterapkan untuk berbagai keperluan. Misalnya struktur
organisasi suatu perusahaan, silsilah suatu keluarga, skema sistem gugur suatu
pertandingan, dan ikatan kimia suatu molekul adalah jenis graf yang tergolong
sebagai pohon. Pada pohon, simpul-simpul yang berderajat satu dinamakan daun
(leave), sedangkan simpul yang derajatnya lebih besar daripada satu dinamakan
simpul cabang (branch node) atau simpul internal (internal node) dan kumpulan
pohon-pohon yang terpisahkan satu sama lain disebut hutan (forest).
B. Rumsan
masalah
1.
Apakah Definisi dari Pohon itu ?
2.
Sebutkan sifat-sifat yang terdapat dalam Pohon ?
3.
Apakah yang di maksud dengan Pohon merentang ?
4.
Apakah yang di maksud dengan Pohon berakar ?
5.
Apakah yang di maksud dengan pohon berakar terurut ?
6.
Apakah yang di maksud dengan jumlah daun m-ary penuh ?
7.
Apakah yang di maksud dengan Pohon Biner ?
8.
Apakah yang diaksud dengan Pohon Ekspresi ?
9.
Apakah yang dimaksud dengan Pohon Keputusan ?
10.
Apakah yang
dimaksud dengan Kode awalan itu ?
11.
Apakah yang dimaksud dengan Pohon Pencarian ?
C. Tujuan
1.
Untuk mengetahui
Definisi dari Pohon itu .
2.
Untuk mengetahui sifat-sifat yang terdapat dalam Pohon .
3.
Untuk mengetahui apa yang di maksud dengan Pohon
merentang .
4.
Untuk mengetahui apa yang di maksud dengan Pohon berakar
.
5.
Untuk mengetahui apa yang di maksud dengan pohon berakar
terurut .
6.
Untuk mengetahui apa yang di maksud dengan jumlah daun m-ary penuh .
7.
Untuk mengetahui apa yang di maksud dengan Pohon Biner .
8.
Untuk mengetahui apa yang diaksud dengan Pohon Ekspresi .
9.
Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Pohon
Keputusan.
10.
Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Kode awalan itu
.
11.
Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Pohon Pencarian
.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
DEFINISI
POHON
Pohon adalah graf yang khusus .Definisi pohon adalah
sebagai berikut:
DEFINISI 9.1
Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang
tidak mengandung sirkuit.
Menurut definisi 9.1 di atas , ada dua
sifat penting pada pohon : terhubung dan tidak mengandung sirkuit.Pada gambar
9.1 hanya G1 dan G2 Yang pohon sedangkan G3 dan G4 bukan pohon.karena G3 dan G4
mengandung sirkuit.G3 Bukan pohon karena ia mengandung sirkuit a,d,f,a
sedangkan G4 Bukan pohon karena ia tidak terhubung
Gambar 9.1
G1 G2 G3 G4
B.
SIFAT-SIFAT
POHON
Sifat-sifat
pohon dinyatakan dengan Teorema 9.1 di bawah ini .
TEOREMA 9.1 Misalkan
G=(V, E) adalah graf tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n.Maka ,Semua
pernyataan di bawah ini adalah eqivalen :
1. G
adalah pohon.
2. Setiap
pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal.
3. G
terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi.
4. G
tidak mengandung sirkuit dan memiliki m
= n – 1 buah sisi.
5. G
tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.
6. G
terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Semua
butir pernyataan diatas dianggap sebagai definisi lain pohon.
C.
POHON
MERENTANG
Misalkan G = (V , E) adalah graf
tak-berarah terhubung yang bukan pohon , yang berarti di G terdapat beberapa
sirkuit. G dapat di ubah menjadi pohon T = ( V1,E1) dengan cara memutuskan
sirkuit – sirkuit yang ada . Caranya , mula – mula dipilih sebuah sirkuit , lalu hapus sebuah
sisi dari sirkuit ini . G akan tetap terhubung dan jumlah sirkuitnya berkurang
satu. Bila proses ni dilakukan berulang – ulang sampai semua sirkuit di G
hilang , maka G menjadi sebuah pohon T, yang dinamakan pohon merentang (spanning
tree) . di sebut pohon merentang karena semua simpul pada pohon T sama dengan semua simpul pada graf G, dan
sisi-sisi pada pohon T 
sisi-sisi pada Graf G . Dengan kata lain , V1
= V dan E1 E
sisi-sisi pada Graf G . Dengan kata lain , V1
= V dan E1 E
Gambar
9.4 adlah graf lengkap dengan empat buah pohon merentang
 |
G T1 T2 T3 T4
Aplikasi pohon merentang misalny pada
pemeliharaan jalan raya.Misalakan graf G pada gambar 9.4 adalah peta jaringan
jalanraya yang menghubungkan empat buah kota. Karena dana pemeliharaan yang
tebatas, pemerintah daerah mempertimbangkan hanya memelihara jalan – jalan
sesedikit mungkin sehingga keempat kota masih tetp terhubung satu sama lain .
Masalah ini dapat dipecahkan dengan membuat upgraf yang mengandung jumlah sisi
minimum dan mengandung semua simpul di dalam graf. Graf semacam ini haruslah
pohon merentang.
Pohon merentang juga memainkan peranan
yang penting dalam jaringan komputer . Jaringan komputer dapat dimodelkan
sebagai sebuah graf . Simpul pada graf dapat menyatkan suatu simpul terminal
komputer ( work station ) atau suatu router(
router adalah komputer yang difungsikan untuk meneruskan data dari suatu
simpul( atau data) ke komputer lain ( melalui router) , maka komputer tersebut
mengirimkannya ke seluruh simpul-simpul di jaringan . Setiap pesan yang sampai
ke suatu router akan diteruskan ke satu atau lebih router lainnya . Dengan cara
ini , maka pesan akan sampai ke komputer penerima.pesan yang telah sampai ke
router di harapkan tidak pernah kembali diterima oleh router tersebut . Teteapi karena router-routr pada jaringan
umumnya membentuk sirkuit , maka menerima pesan yang sama lebih sekali itu
sering terjadi . Untuk mengatasi Hal ini , maka algoritma jaringan membentuk
pohon merentang di dalam graf sehingga antaara sepasang simpul roter yang hanya
ada satu lintasan tunggal dan simpul –simpul router tidak penah menerima pesan
yang sama lebih dari sekali. Metode penyebaran pesan ( routing) seperti ini
dinamkan IP multicasing . Gambar 9.5 memperlihatkan contoh sebuah jaringan komputer dan router –router yang
membentk pohon merentnag
 |
Harus di ingat bahwa pohon merentan
didefinisikan hanya untuk graf terhubung,karena pohon selalu terhubung.Pada
graf tak-terhubung dengan n buah simpul kita tidak dapat menemukan upgraf
terhubung dengan n buah simpul . Tipa komponen dari graf tak – terhubung dengan
k komponen mempunyai hutan merentang (Spanning forest) yang terdiri dari k buah
pohon merentang.
TEOREMA 9.2 Setiap
graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.
Teorema 9.2 menyatakan bahwa graf yang
tidak mengandung sirkuit adalah pohon merentang itu sendiri. Pada graf yang
mengandung sirkuit , pohon merentangnya diperoleh dengan cara memutuskan
sirkuit yang ada.
Sisi
pada pohon merentang – disebut cabang ( branch) adalah sisi dari graf semula , sedangkan tali – hubung ( chord atau
link ) dari pohon adalah sisi dari graf yang tidak terdapat di dalam pohon
merentang. Pada graf terhubung dengan m buah sisi dan n buah simpul terdapat
n-1 buah cabang dan m-n+1 buah tali .
Himpunan hubun beserta simpul dan m bua sisi
, kita dapat menghitung jumlah cabang dan tali hubung dengan rumus
Jumlah cabang = n - 1
Jumlah
tali – hubung = m-n+ 1
Dan
pada graf tidak terhubung dengan k
komponen , m buah sisi dan n buah
simpul
Jumlah
cabang = n – k
Jumlah
tali – hubung m –n+k
Jumlah
cabang pada pohon merentang dari sebuah graf G disebut rank graf G , dan jumlah tali – hubung pada graf G .Dapat di lihat
bahwa
Rank + nullity = jumlah
sisi Graf G
Nullity graf sering diacu sebagai Bilangan siklomatik , atau bilangan pertama
a) Pohon Merentang Minimum
Jika G adalah graf berbobot , maka bobot
pohon merenytang T dari G didefinisikan
sebagai jumlah bobot semua sisi di T . Pohon merentang yang berbeda mempunyai
bobot yang berbeda pula . Diantara semua pohon merentang di G , pohon merentang
yang berbobot minimum – dinamakan Pohon
merentang minimum ( minimum spanning tree ) – merupakan pohon merentang yang
paling penting .Pohon merentang minimum mempunyai terapan yang luas . Misalnya
pemerinta akan membuat jalur rel kereta api yang menghubungkan sebuah kota yang
digambarkan oleh graf 9.6 . Membangun rel kereta api biayanya mahal , karena
itu pembangunan jalur ini tidak perlu menghubungkan langsung ke kota , tapi cukup membangun jalur kereta api
sepeerti pohon merentang . Karena itu dalam sebuah graf mungkin saja terdapat
lebih dari satu pohon merentang, harus dicari pohon merentang yang mempunyai
jarak terpendek , dengan kata lain harus di cari pohon merentang terpendek
 |
a. Graf yang menyatakan jalur kereta api . Bobot pada
tiap sisi menyatkan panjang rel kereta ai
b.
Pohon merentang yang
mempnyai jumlah jarak minimum .
b)
Algoritma
Prim
Misalkan T adalah pohon merentang yang
sisi – sisinya di ambil dari graf G .
Algoritma
prim membentuk pohon merentang minimum langkah perlangkah .
Pada
setiap langkah kita mengabil e dri
graf G yang mempunyai bobot dengan simpul –simpul di dalan T tetapi e tidak membentuk sirkuit di dalam T
.
1.
Ambil sisi dari graf G yang berbobot
minimum, masukkan ke dalam T.
2.
Pilih sisi (u, v) yang
mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (u,
v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke
dalam T.
3.
Ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.
c) Algoritma Kruskal
Pada algortitma Kruskal , sisi – sisi
dalam graf di urut terlebih dahulu berdasarkan bobotnya dari kecil ke besar . Sisi yang di maksudkan ke
dalam himpunan T adalah sisi graf G
sehingga T adalah pohon . Pada keadaan awal , sisi – sisi sudah di urut
berdasarkan bobot membentuk hutan (
forest) , masing – masing pohon di hutan hanya berupa satu buah simpul . Hutan
tersebut dinamakan hutan merentang ( Spanning forest ) . Sisi dari graf G
ditambahkan ke T jika ia tidak membentuk siklus di T.
Asumsi : sisi –sisi dari graf sudah diurut
menaik berdasarkan bobotnya
1.
T
masih kosong
2.
Pilih sisi (u, v) dengan bobot
minimum yang tidak membentuk sirkuit di T.
Tambahkan (u, v) ke dalam T.
3. Ulangi
langkah 2 sebanyak n – 1 kali.
D.
POHON
BERAKAR
Definisi
9.2 pohon yang sebuah simpulnya
dipeerlakukan sebagai akar dan sisi – sisinya diberi arah menjauh dari akar
dinamakan pohon berakar ( rooted
tree) .
Akar mempunyai
derajat masuk sama dengan nol dan simpul – simpul lainnya berderajat masuk sama
dengan satu . Simpul yang mempunyai derajat – keluar sama dengan nol di sebut
daun atau simpul terminal . Simpul yang mempunyai derajat – keluar tidak sama
dengan nol di sebut simpul dalam atau simpul cabang . Setiap simpul di pohon
dapat dicapai dari akar denagan sebuah lintasan tungagal . gambar 9.9(a) adalah
pohon berakar degan a adalah simpul akarnnya , Sebagai konvensasi , arah sisi
dalam pohon tidak perlu di gambar , karena setiap smpul di ohon harus di capai
dari akar , maka lintasan di dalam pohon berakar selalu “ atas “ ke” bawah “ .
Gambar 9.9(b) menunjukkan hl ini
9.9(a) 9.9(b)
9.9(a)
pohon berakar , 9.9(b) sebagai konvensi
, arah panah pada sisi dapat di buang
Sembarang pohon tak- berakar dapat di
ubah menjadi pohon berakar dengan memilih sebuah simpul sebagai akar . pemilihan
simpul yang berbeda menjadi akar menghasilkan pohon berakar yang berbeda pula.
Seperti gambar 9.10 di bawah ini
E.
TERMINOLOGI
PADA POHON BERAKAR
Anak( child atau
children ) dan Orang Tua ( parent)
Misalnya Xx Misalnya Xx adalah sebuah
simpul dalam pohon berakar . Simpul y dikatakan anak simpul x jika ada sisi
dari simpul x ke y . Dalam hal demikian , x disebut Orang tua ( prents) y . Pada gambar 9.11 , b, c dan d adalah anak
– anak simpul a , dan a adalah orang tua dari anak –anak itu . e dan f adalah
anak- anak simpul b , dan b adalah orang tua dari e dan f . g adalah anak
simpul d, dan d adalah orang tua g simpul h , i , j , l, dan m tidak mempunyai
anak .
 |
Keturunan (descendant)
Jika terdapat lintasan dari simpul x ke
simpul y di dlm pohn ,mk x adalah leluhur dr simpul y,dan y adalah keturunan
dari simpul x. Pada gambar 9.11 , b
adalah leluhur simpul h , dan dengan demikian h adalah keturunan b.
Saudara
kandung (sibling)
Pada gambar
9.11 f adalah saudara kandung e,
tetapi, g bukan saudara kandung e,
karena orangtua mereka berbeda.
Lintasan
(path)
Dari gambar 9.11 Lintasan dari a
ke j adalah a, b, e, j. Panjang lintasan
adalah jumlah sisi yang dilalui dalam suatu lintasan , yaitu k-1 . panjang lintasan dari a ke j adalah 3.
Upapohon ( subtree)
Misalkan x
adalah simpul di dalam pohon T .yang di
maksud upapohon dengan x sebagai akarnya ialah upgaraf T’ =( V’ E) sedemikian
sehingga V’ mengandumg x dan semua ketururunannya dan E’ mengandung sisi-sisi dalam seemua
lintasan yang berasal dari x. Sebagai contoh , T ‘ = ( V’ , E’) adalah upapohon
dari pohon pada gambar 9.12 dengan V ‘ =
{ b, e , f , h , i, j} dan E’= {(
b,e) , (b,f) ,(e,h) , (e,i),(e,j),} dan b adalah simpl akarnya. Terdapat
banyak upapohon di dalam pohon T .dengan pengertian di atas , jika x adalah
simpul , maka akar tiap- tiap upapohon dari x disebut anak , dan x adalalah
orang tua setiap upapohon .
Derajat ( degree)
Derajat sebuah simpul pada pohon berakar
adalah jumlah upapaohon ( jumlah anak ) pada simpul tersebut . Pada gambar 9.11
, Derajat b adalah 2 derajat d adalah
satu dan derajat c adalah nol . Jadi derajat yang di maksudkan ndisini adalah
derajat jalan keluar, derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat
pohon itu sendiri .
Pohon pada gambar 9.11 berderajat
3 , karena derajat tertinggi dari seluruh simpulnya adalah 3.
Daun
(leaf)
Simpul yang berderajat nol (atau tidak
mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f,
c, l, dan m adalah daun.
Simpul Dalam (internal nodes)
Simpul yang mempunyai anak disebut simpul
dalam. Sidalammpul d, e , g dan k pada gambar 9.11 adalah simpul dalam
Aras
(level) atau Tingkat
Akar mempunyai aras= 0 , sedangkan aras simpul lainnnya = 1+panjang
lintasan dari akar kesimpul tersebut .
Gambar 9.13
pendefinisian arastiap simpul
Tinggi
(height) atau Kedalaman (depth)
Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi
atau kedalaman pohon tersebut. Atau dapat juga dikatakan , tinggi pohon
adalah panjang maksimum lintasan dari akar ke daun . pohon pada gambar 9.13
mempunyai tinggi 4
F.
POHON
BERAKAR TERURUT
Definisi 9.3 ponon
berakar yang urutan anak-anaknya penting di sebut pohon terurut(order tree)
Pada pohon terurut, urutan anak –anak
simpul dalam dalam dispesifikasikan dari kiri ke kanan . Sebagai contoh , dua
buah pohon pada gambar 9.14 adalah pohon berakar yang sama , tetapi sebagai
pohon terurut , keduanya berbeda .Misalnya urutan anak –anak dari simpul 1 pada
gambar 9.14 (a) adalh 2, 3 , 4 , sedangkan urutan anak –anak dari simpul 1 pada
gambar 9.14 (b) adalah 3,4,2.
Jika pohon berakar terurut pada simpul x
mempunyai p buah upapohon , kita akan
mengacunya sebagai upapohon pertama , uapapohon kedua , ...,upapohon ke-p
 |
Gambar
9.14 dua buah pohon terurut yang berbeda
G.
JUMLAH
DAUN PADA m-ary PENUH
Pohon m-ary penuh adalah pohhon yang
setiap simpulnya tepat mempunyai m buah anak . Pada pohon m-ary penuh dengan tingi
h , jumlah daun adalah mh .
Gambar
9.18 adalah pohon 3-ary dengan jumlah = 32 = 9
Gambar 9.18
pohon 3 –ary dengan jumlah daun = 32 = 9
H.
POHON
BINER
Pohon m-ary yang paling penting adalah
pohon biner(binary tree ) . Pohon biner merupakan pohon m-ary jika m= 2 . Pohon
biner adalah pohon yang setiap simpul cabangya mempunyai paling banyak dua buah
anak . Alih –alih menyebutnya anak pertama dan anak kedua dari suatu simpul
dalam , kita menyebutnya anak kiri disebut upapohon kiri , sedangkan ohon yang
akarnya adalah anak kanan disebut upapohon kanan . Karena adnay perbedaan anak
/upapohon kiri dan kanan dan anak /upapohon kanan, maka pohon biner adalah
pohon terurut.dua buah pohon pada gambar 9.19 adalah dau buan pohon biner yang
berbeda
Pohon yang semua simpulya terletak di
bagian kiri saja atau bagian kanan saja disebut pohon condong(skewed tree) .pohon
yang condong kekiri di sebut pohon condong kiri (skew left),pohon yang condong
kekanan disebut pohon condong kanan (skew right ).
 |
Pohon
biner penuh ( full binary tree ) adalah pohon
biner yang setiap simpulnya mempunyai tepat dua buah anak , kiri dan kanan ,
keculai simpul pada aras bawah
 |
Pohon biner seimbang
Pohon
biner seimbang (balanced binary tree) adalah
pohon biner yang perbedaan tinggi antara upapohon kiri dan upapohon maksimal 1
. pda pohon biner seimbang dengan tinggi h , semua daun berada pada aras h atau
h-1 ,untuk membuat pohon seimbang ,tinngi pohon secara keseluruahan harus di
buat semaksimal mungkin. Untuk memperoleh tinggi minimum , setiap aras harus
mengandung jumlah sebanyak mungkin . Hal ini dapat dibuat dengan menyebarkan
setengah dari jumlah simpul ndi upapohon kiri dan stengah dari jumlah simpul di
upapohon kanan.
Pohon T1 dan T2 pada gambar 9.23 adalah
pohon seimbang , sedangkan T3 bukan pohon seimbang karena perbedaan upapohon
kiri dan kanan tidak maksimal 1
 |
I.
POHON
EKSPRESI
Pohon ekspresi ialah pohon biner dengan
daun yang menyatakan operand dan simpul dalam (termasuk akar ) menyatakan
operator .
Sebagai
contoh (a+b)*(c/(d +e)) dinyatakan dalam pohon biner pada gamabar 9.24 .Daun akar
–menytakan operator + ,* , dan /
 |
J.
POHON
KEPUTUSAN
Pohon keputusan digunakan untuk
memodelkan persoalan yang terdiri dari serangkaian keputusan yang mengarah ke
solusi .Tiap simpul dalam menyatakan keutusan , sedangkan daun menyatakan
solusi . Sebagai contoh , kita ingin
mengurutkan tiga buah bilangan a,b dan c . Pohon keputusan untuk persoalan ini
di tunjukkan pada gambar berikut
 |
K.
KODE
AWALAN
Kode Awalan adalah himpunan kode ,
misalnya kode biner , sedemikian sehingga tidak ada anggota kumpulan yang
merupakan awalan dari anggota yang lain .Contohnya, himpunan
{
000 , 001 , 01 , 10 , 11 } adalah kode awalan , tetapi { 1, 00 , 01 , 000 ,
0001 } bukan kode awalan ,sebab 00 adalah frefiks dari 0001
Kegunaan kode awalan untuk mengirim
pesan pada komunikasi data .Setipa karakter di dalam pesan direpresentasikan
dengan barisan angka 0 dan 1.
Kode
awalan (a) dapat dinyatakan dalam pohon biner
 |
Kode Hufman ,Dalam komunikasi data, seringkali
ditemukan data berukuran besar sehingga waktu pengiriman data tersebut menjadi
lama. Hal ini menyebabkan pentingnya kompresi data dengan tujuan memperkecil
ukuran data tersebut. Kode Hufman merupakan salah satu metode pengkodean dalam
hal kompresi data.
Perhatikan tabel kode ASCII berikut ini
:
|
Simbol
|
Kode ASCII
|
|
A
|
1000001
|
|
B
|
1000010
|
|
C
|
1000011
|
|
D
|
1000100
|
Jadi rangkaian bit untuk string ‘ADABCCA’
, dapat direpresentasikan dalam bentuk :
0100000101000100010000010100001001000001101000001101000001
atau
7 × 8 = 56 bit (7 byte).
Tabel Tabel kekerapan dan kode Huffman
untuk string ’ABACCDA’
|
Simbol
|
Kekerapan
|
Peluang
|
Kode Huffman
|
|
A
|
3
|
3/7
|
0
|
|
B
|
1
|
1/7
|
110
|
|
C
|
2
|
2/7
|
10
|
|
D
|
1
|
1/7
|
111
|
Sehingga rangkaian bit untuk string ’ADABCCA’:
0111110010100
atau 13 bit.
L.
POHON
PENCARIAN
Pohon pencarian biner (binary search
tree - BST) mungkin adalah pohon biner
yang paling penting , khususnya pada persoalan yang banyak melakukan operasi
pencarian , penyisipan ,dan penghapusan elemen . Simpul pada pohon pencarian
dapat berupa field(kunci) pada data record , atau data itu sendiri . Kunci
adalah nilai yang membedakan setiap simpul dengan yang lainnya . Kunci harus
unik , karena itu tidak ada dua buah simpul atau lebih yang mempunyai kunci
yang sama .
Pohon pencarian biner adalah pohon biner
yang setiap kuncinya diatur dalam suatu urutan tertentu . ketentuan pengaturan
kunci adalah sebagai berikut :
Jika R adalah akar , dan semua kunci yang
tersimpan pada setiap simpul tidak ada yang sama , lihat gmbar 9.30
(a)
Semua simpul pada
upapohon kiri mempunyai kuci lebih kecil dari kunci (R)
(b)
Semua simpul di
upapohon kanan mempunyai kunci nilai lebih besar dari kunci (R)
 |
Ada tiga jenis
penelusuran pohon biner diatas, antara lain :
1. Preorder :
R, T1, T2
- kunjungi A
- kunjungi T1 secara
preorder
- kunjungi T2 secara
preorder
2. Inorder :
T1 , R, T 2
- kunjungi T1 secara
inorder
- kunjungi R
- kunjungi T2 secara
inorder
3. Postorder :
T1, T2 , R
- kunjungi T1 secara
postorder
- kunjungi T2 secara
postorder
-
kunjungi R
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
B.
Keritik
dan saran
Semoga makalah ini dapat memberikan
pelajaran bagi kita semua untuk menambah wawasan yang ada dan ilmu yang
bermanfaat serta membantu dalam proses pembelajaran SPI khususnya. Dan semoga
bermanfaat dalam kehidupan terlebih di akhirat kelak amin.
Atas keterbatasan kemampuan
penulis/kelompok serta keterbatasan media yang di gunakan dalam pembuatan
makalah ini sehingga makalah ini dapat terselesaikan, dan apabila terdapat
banyak kesalahan ataupun kekurangan yang dimiliki makalah ini penulis
mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi memperbaiki makalah
selanjutnya.
Marilah kita belajar dari
pengalaman-pengalaman yang ada, baik pengalaman yang kurang baik sebagai
motivasi untuk memperbaikinya, serta pengalaman yang baik sehingga kita semua
termotivasi untuk lebih baik lagi.
Daftar Pustaka
Postingan
Terimakasih kak, sangat membantu
BalasHapus