ring polinomial

Ring polynomial, daerah euclide dan daerah ideal

A.   Daerah ideal

1.      Definisi

Misalkan R adalah suatu ring dan I ⊂ R dengan (I ,+) adalah subgrup dari R, maka I dikatakan ideal dari R bila ar , ra ∈ I untuk setiap a ∈ I dan r ∈ R. Selanjutnya misalkan (R,+,×) adalah suatu ring komutatif dan untuk sebarang a ∈ R dengan a tetap didefinisikan (a) def = {ra | r ∈ R}. Himpunan (a) adalah subgrup dari R sebab: untuk setiap x, y ∈ (a), maka ada r0, r1 ∈ R sehingga x − y = r0a − r1a = (r0 − r1)a = ra, dengan r0 − r1 = r ∈ R terlihat bahwa x − y ∈ (a). Jadi (a) subgrup dari R. Selanjutnya ambil sebarang x di (a) dan r di R, maka ada r0 yang memenuhi rx = r (r0a) = (rr0)a, dengan rr0 ∈ R. Terlihat bahwa rx ∈ (a) untuk setiap r ∈ R dan x ∈ (a) dan dari hasil sebelumnya ((a),+) adalah subgrup dari R, dengan demikian (a) adalah ideal dari R.

Contoh

Bila F adalah suatu lapangan, maka F hanya mempunyai satu ideal yaitu (0), tidak ada ideal yang lain diantara (0) dan F. Misalkan ideal yang lain dari F adalah I dengan I = (0). Bila a ∈ I dengan a = 0, maka a ∈ F dan juga a−1 ∈ F. Jadi a−1a = 1 ∈ I . Selanjutnya ambil sebarang r ∈ F, maka r = r .1 ∈ I , dengan demikian F ⊂ I . Tetapi, juga I ⊂ F. Jadi I = F. Dari contoh ini, secara umum didapat sifat berikut

2.      Sifat

Bila R adalah suatu ring komutatif dengan elemen satuan yang hanya mempunyai ideal (0) dan R sendiri, maka R adalah suatu lapangan.

B.   Ring polynomial

1.      Definisi 

Misalkan R adalah suatu ring komutatif, suatu polinomial p(x) dalam x atas ring R adalah suatu ekspresi yang diungkapkan oleh bentuk p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn, dengan ai ∈ R dan i ∈ N. Elemen ai disebut koefisien dari xi dalam p(x). Dua polinomial f (x) dan g(x) sama bila semua koefisien dari xn sama untuk masing-masing polinomial dimana n ≥ 0. Khususnya a0 + a1x + a2x2 + . . . + anx n = 0, polinomial nol bila dana hanya bila semua ai = 0.

Derajat polynomial. Bila n adalah bilangan bulat terbesar dimana an = 0, maka dikatakan p(x) mempunyai derajad sama dengan n dan ditulis deg(p(x)) = n. Bila semua koefisien dari p(x) sama dengan nol, maka p(x) dinamakan polinomial nol dan derajadnya tak didifinisikan.

Perkalian dan penjumlahan polynomial Himpunan semua polinomial dalam x dengan koefisien dari ring komutatif R dinyatakan oleh R[x], yaitu R[x] = {a0 + a1x + . . . + anx n | ai ∈ R, n ∈ N}. Himpunan R[x] mempunyai struktur ring dan disebut ring polinomial dengan koefisien di R sedangkan penjumlahan dan perkalian dari p(x), q(x) ∈ R[x] dengan p(x) = n Xaixi dan q(x) = m Xbi xi

Contoh

a.       Suatu contoh, dalam Z5[x] yaitu polinomial ring dengan koefisi bilangan bulat modulo 5, didapat (2x3 + 2x2 + 1) + (3x2 + 4x + 1) = 2x3 + 4x + 2 dan (2x3 + 2x2 + 1).(3x2 + 4x + 1) = x5 + 4x4 + 4x + 1. Bila bekerja dalam Zn[x], koefisien direduksi ke modulo n.

b.      Contoh, 4x2−√3 adalah polinomial atas R berderajad 2, ix4 − (2 + i)x3 + 3x adalah polinomial atas C berderajad 4 dan x7 + x5 + x4 + 1 adalah polynomial atas Z2 berderajad 7. Bilangan 5 adalah polynomial atas Z berderajad 0, polinomial nol dan polinomial dengan derajad sama dengan 0 dinamakan polinomial konstan.

2.      Teorema atau sifat

a.       Bila R adalah suatu daerah integral dan p(x), q(x) ∈ R[x] dengan masing masing p(x) dan q(x) bukan polinomial nol, maka deg(p(x).q(x)) = deg(p(x)) + deg(q(x)).

Bukti

Misalkan deg(p(x)) = n, deg(q(x)) = m dan p(x) = a0 + . . . + anxn, q(x) = b0 + . . . + bmxm, dimana an = 0 dan bm = 0. Maka koefisien pangkat tertinggi dalam x dari perkalian p(x).q(x) adalah an.bm. Koefisien an.bm tidak sama dengan nol sebab R daerah integral (tidak memuat pembagi nol). Jadi deg(p(x).q(x)) = n + m = deg(p(x)) + deg(q(x)).

b.      Bila R suatu daerah integral, maka R[x] juga daerah integral.

Bukti

Bila p(x), q(x) ∈ R[x] bukan polinomial nol, maka dari hasil Proposisi sebelumnya terlihat bahwa p(x).q(x) juga bukan polinomial nol. Jadi R tidak memuat pembagi nol.

c.       Suatu polinomial berderajad n atas suatu lapangan F mempunyai akar-akar tidak lebih dari n.

C.   Ring euclide

1.      Definisi

Suatu daerah integral R dinamakan suatu ring Euclide bila untuk setiap elemen taknol a ∈ R ada bilangan bulat taknegatif δ(a) sedemikian hingga.

(i) Bila a dan b elemen taknol di R, maka δ(a) ≤ δ(ab).

(ii) Untuk setiap pasangan elemen a, b ∈ R dengan b = 0, ada elemen

q, r ∈ R sehingga a = qb + r dimana r = 0 atau δ(r ) < δ(b). Ring bilangan bulat Z adalah ring Euclide bila diambil δ(b) = |b| untuk semua b ∈ R. Suatu lapangan F adalah suatu ring Euclide bila δ(a) = 1 untuk semua elemen tak nol a ∈ F.

            contoh

Bagi x3 + 2x2 + x + 2 dengan x2 + 2 di Z3[x].

Penyelesaian Dengan menggunakan ”pembagian panjang didapat” x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2)(x2 + 2) + (2x + 1).

2.      Sifat-sifat atau teorema

1.      Misalkan f (x), g(x) ∈ F[x] dengan F suatu lapangan. Bila g(x) taknol, maka dengan tunggal ada q(x), r (x) ∈ F[x] sehingga f (x) = q(x).g(x) +r (x) dimana r (x) = 0 atau deg(r (x)) < deg(g(x)).

Bukti

Bila f (x) taknol atau deg(f (x)) < deg(g(x)), maka tulis f (x) = 0.g(x) + f (x). Terlihat algoritma dipenuhi. Bila deg(r (x)) = deg(g(x)) = 0, maka f (x) = a0 dan g(x) = b0. Tulis f (x) = a0b−10 g(x). Algoritma dipenuhi. Untuk yang lainnya dibuktikan secara induksi pada derajad dari f (x). Misalkan bahwa bila dibagi dengan polinomial tetap g(x) algoritma pembagian dipenuhi untuk derajad yang kurang atau sama dengan n. Misalkan f (x) = a0 + a1x + . . . + anxn dan g(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm dengan an = 0 dan bm = 0. Bila n < m sudah ditunjukkan algoritma dipenuhi. Selanjutnya misalkan bahwa n ≥ m dan tulis f1(x) = f (x) − anb−1m xn−mg(x) dalam hal ini terlihat bahwa deg(f1(x)) < n.

2.      Teorema (Teorema sisa) : Polinomial f (x) bila dibagi oleh (x − a) di F[x] sisanya adalah f (a)

Bukti

Gunakan algoritma pembagian, didapat: ada q(x), r (x) ∈ F[x] dengan f (x) = q(x)(x − a) + r (x), dimana r (x) = 0 atau derajad dari r (x) kurang dari satu. Jadi sisa pembagian adalah konstan r0 ∈ F dan f (x) = q(x)(x − a) + r0. Substitusikan a kedalam x, didapat f (a) = r0.

READ MORE - ring polinomial