BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika Diskrit adalah salah satu ilmu yang memiliki banyak kegunaan dalam berbagai bidang ilmu lainnya. Matemtika Diskrit merupakan cabang matematika yang mempelajari tentang obyek-obyek diskrit. Diskrit itu sendiri adalah sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak bersambungan. Dimana data diskrit merupakan data yang satuannya selalu bulat dalam bilangan asli, tidak berbentuk pecahan, Contoh dari data diskrit misalnya manusia, pohon, bola dan lain-lain. Berikut ini adalah beberapa alasan pentingnya mempelajari matematika diskrit:
1. Landasan berbagai bidang matematika: logika, teori bilangan, aljabar linier dan abstrak, kombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit).
2. Landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, teori database, bahasa formal, teori automata, teori compiler, sistem operasi, dan pengamanan komputer (computer security).
3. Mempelajari latar belakang matematis yang diperlukan untuk memecahkan masalah dalam riset operasi (optimasi diskrit), kimia, ilmu-ilmu teknik, biologi, telekomunikasi, dsb.
Dari alasan-alasan di atas, jelaslah bahwa Matematika Diskrit memiliki jangkauan yang luas dalam berbagai bidang ilmu. Salah satu contoh penggunaan Matematika
B. Rumusan Masalah
Bagaimanakan bentuk – bentuk perhitungan pada kombinatorial dan peluang diskrit pada matematika ?
C. Tujuan
Untuk mengetahui bentuk – bentuk perhitungan pada kombinatorial dan peluang diskrit pada matematika
BAB II
PEMBAHASAN
KOMBINATORIAL dan PELUANG DISKRIT
Kombinatorial merupakan suatu cabang matematika yang mempelajari tentang pengaturan objek-objek dengan cara menghitung jumlah komponen penyusun objek itu sendiri tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan penyusunnya. Kombinatorial digunakan untuk menentukan jumlah cara pengaturan objek-objek penyusun yang ada dimana objek tersebut merupakan objek diskrit yang memiliki tipe yang berbeda atau elemen itu tidak memiliki hubungan satu dengan yang lain.Kombinatorial didasarkan pada hasil yang dipeoleh dari suatu percobaan yang dilakukan dalam bentuk experiment berupa proses fisik yang hasilnya dapat diamati atau kejadian dimana hasil percobaan tersebut dapat membentuk suatu formula atau aturan tertentu dengan membuat suatu penyederhanaan dari berbagai objek penyusun yang ada (generalisasi).
A. PERCOBAAN
Percobaan atau disebut juga eksperimen (dari Bahasa Latin: ex-periri yang berarti menguji coba) adalah suatu set tindakan dan pengamatan, yang dilakukan untuk mengecek atau menyalahkan hipotesis atau mengenali hubungan sebab akibat antara gejala.Dalam penelitian ini, sebab dari suatu gejala akan diuji untuk mengetahui apakah sebab (variabel bebas) tersebut memengaruhi akibat (variabel terikat). Penelitian ini banyak digunakan untuk memperoleh pengetahuan dalam bidang ilmu alam dan psikologi sosial.Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan.
Contoh percobaan dan hasilnya :
Misalkan nomor plat mobil di Negara X terdiri atas 5 angka diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?
Password sistem komputer panjangnya enam sampai delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka, huruf besar dan kecil tidak dibedakan.
Berapa banyak password yang dapat dibuat?
Untuk menyelesaikan persoalan di atas yaitu dengan mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya.
Mengenumerasi artinya menghitung (count) satu persatu setiap kemungkinan jawaban.
Untuk persoalan dengan objek sedikit, mengenumerasi setiap kemungkinan jawaban masih dapat dilakukan, tetapi untuk persoalan dengan jumlah objek yang banyak, cara enumerasi jelas imposible untuk dilakukan.
Misalnya pada persoalan contoh pertama, bila kita mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya adalah seperti di bawah ini :
12345AB
12345AC
12345BC
….
34567MC
34567MK
….
dan seterusnya…
Kombinatorial dapat digunakan untuk menjawab persoalan semacam ini tanpa perlu kita mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya.
Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan. Percobaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat diamati.
Contoh percobaan :
1. Melempar dadu
Enam hasil percobaan yang mungkin untuk pelemparan dadu adalah muka dadu 1,2,3,4,5 atau 6
2. Melempar koin uang Rp. 500
Hasil percobaan melempar koin Rp. 500 ada dua kemungkinan : muka koin yang bergambar wayang atau muka koin yang bergambar spiderman
3. Memilih lima orang wakil dari 100 orang mahasiswa
Hasil yang diperoleh adalah perwakilan yang beranggotakan lima orang mahasiswa. Kemungkinan perwakilan yang dapat dibentuk banyak sekali.
4. Menyusun jumlah kata yang panjangnya 5 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf a,b,c,d,e, tidak boleh ada huruf yang berulang di dalam kata.
Hasil yang diperoleh adalah kata yang disusun oleh huruf-huruf tersebut, misalnya abcde, abced, dan seterusnya.
B. KAIDAH DASAR MENGHITUNG
Kaidah dasar menghitung yang digunakan dalam kombinatorial : kaidah perkalian dan kaidah penjumlahan.
Terdapat 2 kaidah dasar yang digunakan untuk memecahkan banyak masalah persoalan menghitung :
1. Kaidah Perkalian (rule of product)
Bila percobaan satu mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban), percobaan dua mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban), maka bila percobaan satu dan percobaan dua dilakukan, maka terdapat p x q hasil percobaan (atau menghasilkan p x q kemungkinan jawaban).
2. Kaidah Penjumlahan (rule of sum)
Bila percobaan satu mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban), percobaan dua mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban), maka bila hanya satu percobaan saja dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2), maka terdapat p + q kemungkinan hasil percobaan (atau menghasilkan p + q kemungkinan jawaban) yang mungkin terjadi.
Contoh 6.1
Sebuah restoran menyediakan 3 jenis makanan: nasi goreng, sate ayam dan soto babat, dan 2 jenis minuman: es teh dan es jeruk. Jika setiap orang bebas memesan satu makanan dan satu minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan?
Penyelesaian
(i) Diagram Pohon
Pada diagram pohon, akar adalah awal pemilihan, cabang adalah alternatif solusi, dan daun merupakan akhir solusi.
Jadi, ada 6 kemungkinan
(ii) Enumerisasi
Dari diagram pohon di atas, kita dapat mengenumerisasi semua kemungkinan hasil, yaitu
- Nasi goreng dan es teh
- Nasi goreng dan es jeruk
- Sate ayam dan es teh
- Sate ayam dan es jeruk
- Soto babat dan es teh
- Soto babat dan es jeruk
Jadi, ada 6 kemungkinan.
(iii) Kaidah perkalian
Dalam kasus ini, orang harus memilih makanan dan minuman, maka untuk menentukan jumlah kemungkinan dapat digunakan kaidah perkalian, yaitu
3 2
Sehingga ada 3 x 2 = 6 kemungkinan.
C. PERLUASAN KAIDAH MENGHITUNG
kaidah perkalian dan kaidah penjumlahan di atas dapat diperluas hingga mengandung lebih dari dua buah percobaan. Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1, p2, … pn hasil percobaan yang mungkin terjadi yang dalam hal ini setiap pi tidak bergantung pada pilihan sebelumnya, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah :
p1 x p2 x … x pn untuk kaidah perkalian
p1 + p2+ … + pn untuk kaidah perjumlahan
Contoh :
Jika ada sepuluh pertanyaan yang masing-masing bisa dijawab benar atau salah (B atau S), berapakah kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat dibuat ?
Penyelesaian
Andaikan 10 pertanyaan tersebut sebagai 10 buah kotak, masing-masing kotak hanya berisi 2 kemungkinan jawaban, B atau S :
B/S B/S B/S B/S B/S B/S B/S B/S B/S B/S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Disini kita menggunakan kaidah perkalian, karena kesepuluh kotak ini harus terisi dengan jawaban B atau S (kotak 1 dan kotak 2 dan kotak 3 dan … dan kotak 10). Jumlah kombinasi jawaban yang dapat dibuat :
(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) = 210
Contoh 6.10 :
1. Jumlah cara memilih 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa adalah (6)(8)(10) = 480 cara.
2. Jumlah cara memilih 1 buah buku (sembarang bahasa) = 6 + 8 + 10 = 24 cara
Contoh 6.11 :
(i)
Karena yang diminta bilangan ganjil, kita harus memulai
dari angka satuan terlebih dahulu
Untuk posisi satuan : ada 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9)
Untuk posisi ribuan : ada 8 kemungkinan angka (yaitu 1 sampai 9,
kecuali yang sudah dipakai untuk angka satuan
à 9 - 1 )
Untuk posisi ratusan : ada 8 kemungkinan angka (yaitu 0 sampai 9,
kecuali dua angka yang sudah dipakai untuk
angka satuan dan angka ribuan à 10 - 2 )
Untuk posisi puluhan : ada 7 kemungkinan angka (yaitu 0 sampai 9,
kecuali tiga angka yang sudah dipakai untuk
angka satuan, ratusan dan angka ribuan
à 10 - 3 )
Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah
(ii)
Jika perulangan angka dibolehkan, maka untuk posisi
satuan tetap ada 5 kemungkinan angka,
Ribuan ada 9 kemungkinan (1 sampai 9)
Ratusan ada 10 kemungkinan (0 sampai 9)
Puluhan ada 10 kemungkinan (0 sampai 9)
Banyak bilangan ganjil seluruhnya adalah (5)(9)(10)(10)
= 4500 buah
D. PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI
Prinsip Inklusi dan Eksklusi merupakan perluasan ide dalam Diagram Venn beserta operasi irisan dan gabungan, namun dalam pembahasan kali ini konsep tersebut diperluas, dan diperkaya dengan ilustrasi penerapan yang bervariasi dalam matematika kombinatorik. Banyaknya anggota himpunan gabungan antara himpunan A dan himpunan B merupakan jumlah banyaknya anggota dalam himpunan tersebut dikurangi banyaknya anggota di dalam irisannya. Dengan demikian,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Informasi terkecil yang dapat disimpan di dalam memori komputer adalah byte. Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan ’11’ atau berakhir dengan ’11’ ?
Misalkan :
A = himpunan byte yang dimulai dengan ’11’
B = himpunan byte yang diakhiri dengan ’11’
A Ç B = himpunan byte yang berawal dan
berakhir dengan ’11’
A È B = himpunan byte yang berawal dengan ’11’ atau
berakhir dengan ’11’
Jumlah byte yang dimulai dengan ’11’ adalah 26 = 64 buah,
karena 2 posisi pertama sudah diisi dengan ’11’,
sehingga cukup mengisi 6 posisi bit sisanya.
Jadi |A| = 64
1 1 - - - - - - à 8 bit
Jumlah byte yang diakhiri dengan ’11’ adalah 26 = 64 buah,
Jadi |B| = 64
- - - - - - 1 1
Jumlah byte yang berawal dan berakhir dengan ’11’ ada 24 16 buah, karena 2 posisi pertama dan 2 posisi terakhir sudah diisi dengan ’11’, sehingga tinggal mengisi 4 posisi bit di tengah saja. Jadi |A Ç B| = 16
1 1 - - - - 1 1
Menggunakan prinsip inklusi-eksklusi
|AÈB| = |A| + |B| - |A Ç B| = 26 + 26 – 24
= 64 + 64 – 16 = 112 buah
E. PERMUTASI
Definisi : Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.
Definisi 6.1: Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi aturan perkalian . Menurut kaidah perkalian permutasi dari n objek adalah :
n(n - 1) (n – 2)……(2)(1) = n ! (6.1)
Jika contoh dirampatkan (bentuk secara umum) sehingga
ada n buah bola yang berbeda warnanya dan
r buah kotak (r ≤ n), maka
Kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola (ada n pilihan)
Kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 1)bola (ada n-1 pilihan)
Kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 2)bola (ada n-2 pilihan)
Kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n–(r-1))bola(ada n-r+1 pilihan)
Menurut kaidah perkalian, jumlah urutan berbeda dari penempatan bola
adalah à n(n-1)(n-2)…(n-(r-1))
Permutasi-r
Jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek disebut permutasi – r, dilambangkan dengan P(n,r) , yaitu : r £ n (6.2)
Definisi 6.2 : Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r £ n. Dalam hal ini pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama.
Jumlah cara memasukkan 6 buah bola yang berbeda
warnanya ke dalam 3 buah kotak adalah
Jumlah kemungkinan urutan 2 dari 3 elemen himpunan
A ={a, b, c} adalah
Bila r = n, maka persamaan (6.2) menjadi sama dengan (6.1)
Contoh 6.19 :
Berapa banyak “ kata “ yang terbentuk dari kata BOSAN ?
Cara 1 : (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata
Cara 2 : P (5, 5) = 5! = 120 buah kata
F. KOMBINASI
Kombinasi adalah bentuk khusus dari pemutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan kemunculan diabaikan. Urutan abc, bca dan acb dianggap sama dan dihitung sekali.
Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama :
Jumlah cara memasukkan 2 buah bola yang warnanya sama ke dalam 3 buah kotak
Sekarang bila jumlah bola 3 dan jumlah kotak 10, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah
Karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya merah semua.
Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah
Rumus disebut rumus kombinasi-r, dan dilambangkan dengan C(n, r)
atau
Kombinasi – r
Definisi 6.4 : Kombinasi r elemen dari n elemen adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.
Rumus :
(6.3)
C(n,r) dibaca “ n diambil r”, artinya r objek diambil dari n buah objek
Interpretasi kombinasi
Misalkan A = {1, 2, 3}
Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dapat
dibentuk dari himpunan A ada 3 buah, yaitu :
{1, 2} = {2, 1}
{1, 3} = {3, 1} 3 buah
{2, 3} = {3, 2}
Atau
contoh 6.27 :
Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a, b, c, d} ? Ini adalah persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting
Himpunan bagian A dengan 3 elemen
Permutasi setiap himpunan bagian
{a, b, c} abc,acb,bca,bac,cab,cba
{a, b, d}
abd,adb,bda,bad,dab,dba
{a, c, d}
acd,adc,cda,cad,dac,dca
{b, c, d}
bcd,bdc,cdb,cbd,dbc,dcb
Untuk setiap 3 elemen ada 3! = 6 urutan yang berbeda (permutasi P = n ! ). Jadi jumlah cara memilih 3 dari 4 elemen himpunan adalah
yaitu himpunan {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, dan {b, c, d}.
contoh 6.30 :
Sebuah koin yang mempunyai sisi A dan sisi B di lempar keatas sebanyak 4 (empat) kali.
Berapakah jumlah kemungkinan munculnya sisi A sebanyak 3(tiga) kali?
Penyelesaian :
Ini adalah persoalan dari kombinasi karena kita tidak mementingkan kapan sisi A tersebut muncul. Jadi, jumlah kemungkinan munculnya sisi A sebanyak
3(tiga) kali adalah
Contoh 6.33 :
Panitia : 6 orang, jumlah wanita lebih banyak dp jumlah pria
Panitia terdiri dari 5 wanita, 1 pria à dapat dibentuk dengan C(10,5) x C(8,1)
Panitia terdiri dari 4 wanita, 2 pria à dapat dibentuk dengan C(10,4) x C(8,2)
Panitia terdiri dari 6 wanita, 0 pria à dapat dibentuk dengan C(10,6) x C(8,0)
Jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya = C(10,5) x C(8,1) + C(10,4) x C(8.2) + C(10,6) x C(8,0)
Contoh 6.34 :
Andaikan apartemen A, B, C ditempati masing-masing oleh 4, 3 dan 3 orang mahasiswa. Jumlah cara menyewakan = C(10,4)xC(6,3)xC(3,3)
Andaikan apartemen A, B, C ditempati masing-masing oleh 3, 4 dan 3 orang mahasiswa. Jumlah cara menyewakan = C(10,3)xC(7,4)xC(3,3)
Andaikan apartemen A, B, C ditempati masing-masing oleh 3, 3 dan 4 orang mahasiswa. Jumlah cara menyewakan = C(10,3)xC(7,3)xC(4,4)
Total seluruh cara menyewakan = C(10,4)C(6,3) + C(10,3)C(7,4) + C(10,3)C(7,3)
= 3C(10,4)C(6,3)
Contoh 6.35 :
Panjang lintasan = m + n langkah (m horizontal dan n vertikal)
Contohnya, pada gambar 6.4
Panjang lintasan dari (0,0) ke A(2,3) = 2 + 3 = 5 Banyaknya lintasan =
G. PERMUTASI DAN KOMBINASI BENTUK UMUM
Kita mempunyai n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama – indistinguishable). Misalkan dari n buah bola itu terdapat
n1 bola diantaranya berwarna 1,
n2 bola diantaranya berwarna 2,
nk bola diantaranya berwarna k,
dan n1+n2+…+nk=n
Dengan demikian, permutasi n buah bola yang mana
n1 diantaranya berwarna 1,
n2 bola berwarna 2,…
nk bola berwarna k adalah :
(6.4)
Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak
(6.5)
Dinamakan kombinasi bentuk umum (generalized combination). Kita dapat melihat bahwa tidak ada perbedaan antara permutasi bentuk umum dengan kombinasi bentuk umum.Keduanya dapat dihitung dengan rumus yang sama
Contoh 6.36 :
S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I}
huruf M = 1 buah (n1)
huruf I = 4 buah (n2)
huruf S = 4 buah (n3)
huruf P = 2 buah (n4)
n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = jumlah elemen himpunan S
Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
persoalan ini, keduanya memberikan hasil yang sama :
Cara 1 : Jumlah string =
Cara 2 : Jumlah string =
Contoh 6.37 :
n1 = 3, n2 = 2, n3 = 2, n4 = 5, dan n1+n2+n3+n4 = 3+2+2+5 = 12
Jumlah cara pengecatan = P(12; 3, 2, 2, 5) =
H. KOMBINASI DENGAN PENGULANGAN
Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah C(n, r)
Jika masing-masing kotak boleh diisi lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola), maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah
C(n + r – 1, r)
Contoh 6.40 :
Pada persamaan x1+x2+x3+x4=12, adalah bilangan bulat ≥ 0
Berapa jumlah kemungkinan solusinya?
Kotak 1 diisi 3 buah bola (x1 = 3)
Kotak 2 diisi 5 buah bola (x2 = 5)
Kotak 3 diisi 2 buah bola (x3 = 2)
Kotak 4 diisi 2 buah bola (x4 = 2)
x1 + x2 + x3 + x4 = 3 + 5 + 2 + 2 = 12
Banyak sekali jumlah susunan yang mungkin, namun
seluruhnya ada C(n + r – 1, r)
C(4 + 12 - 1, 12) =
C(15, 12) = 455 buah kemungkinan solusi
Perhatikan bahwa
C(n + r – 1, r) = C(n + r – 1, n-1)
Contoh 6.42 :
n = 5, r1 = 20 (apel) dan r2 = 15 (jeruk).
C(5 + 20 – 1, 20) x C(5 + 15 – 1, 15) = C(24, 20) x C(19, 15)
Nilai C(24, 20) x C(19, 15) dapat diselesaikan
Contoh 6.45 :
3 (Tiga) buah dadu dilempar bersamaan. Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin?
C(n + r – 1, r)
Penyelesaian :
C (6 + 3 – 1, 3) = C (8,3) = 56
I. KOEFISIEN BINOMIAL
Teorema binomial memberikan cara untuk menjabarkan bentuk perpangkatan
( x + y ) n, yang dalam hal ini, n adalah bilangan bulat positif. Cara ini digunakan sebagai alternatif bagi penggunaan segitiga Pascal.
(x+y)0 = 1
(x+y)1 = x + y
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
(x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x+y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5x y4 + y5
Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan ( x + y ) n adalah :
1. Suku pertama adalah xn, sedangkan suku terakhir adalah yn.
2. Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang 1 sedangkan pangkat y bertambah 1, Untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n.
3. Koefisien untuk xn-k yk, yaitu suku ke (k+1), adalah C(n,k). Bilangan C(n,k) disebut koefisien binomial.
( x + y )n = C(n,0) xn + C(n,1) xn-1 y1 + …+ C(n,k) xn-k yk + … +C(n,n) yn (6.6)
= Σ C(n,k) xn-k yk
Teorema 6.1 (Teorema Binomial)
Misalkan x dan y adalah peubah, dan n adalah bilangan bulat tak-negatif, Maka
( x + y )n = Σ C(n,k) xn-k yk
Contoh 6.46 :
Tentukan suku keempat (k +1) dari penjabaran
perpangkatan (x – y)5
x – y)5 = (x + (– y))5
Suku keempat adalah : C (5, 3) x5-3 (-y)3 = - 10 x2y3
( x + y )n = Σ C(n,k) xn-k yk
Contoh 6.47 ;
Jabarkan (3x – 2)3 .
Jika didefinisikan a = 3x dan b = -2, maka
(a + b)3 = C(3,0) a3 + C(3,1) a2b1 + C(3,2) a1b2 + C(3,3) b3
= 1(3x)3 + 3(3x)2 (-2) + 3 (3x)(-2)2 + 1(-2)3
= 27x3 – 54x2 + 36x – 8
(x + y)n = C(n,0) xn + C(n,1) xn-1y1 +…+ C(n,k) xn-kyk +…+C(n,n) yn
J. PRINSIP SARANG MERPATI
Pigeonhole Principle atau Prinsip Rumah Merpati pertama kali dinyatakan oleh ahli matematika dari Jerman yang bernama Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet pada tahun 1834, sehingga prinsip ini juga dikenal dengan istilah Prinsip Laci Dirichlet (Dirichlet drawer principle).
Jika (k + 1) atau lebih obyek ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat dua atau lebih obyek tersebut.
Misal Jika n merpati ditempatkan pada m rumah merpati, dimana n > m, maka terdapat rumah merpati yang memuat paling sedikit dua merpati. Untuk membuktikan pernyataan Prinsip Pigeonhole ini, kita gunakan kontradiksi. Misalkan kesimpulan dari pernyataan tersebut salah, sehingga setiap rumah merpati memuat paling banyak satu merpati. Karena ada m rumah merpati, maka paling banyak m merpati yang bisa dimuat. Padahal ada n merpati yang tersedia dan n > m, sehingga kita dapatkan sebuah kontradiksi.
Contoh 4.49 :
Dari 27 orang mahasiswa, paling sedikit terdapat 2 (dua) orang yang namanya diawali dengan huruf yang sama, karena hanya ada 26 huruf dalam alfabet. à (n + 1)
K. PELUANG DISKRIT
Antara kombinatorial dan teori peluang (probability) sebenarnya terkait erat. Teori peluang banyak menggunakan konsep-konsep di dalam kombinatorial. Sayangnya, kedua bidang ini lahir dari tempat yang kurang patut, yaitu dari arena judi (gambling games) – salah satu kasusnya adalah menghitung peluang kemunculan nomor lotre.
Definisi
Besarnya peluang suatu peristiwa E terjadi, yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S dimana setiap peristiwa didalamnya memililki peluang yang sama untuk terjadi diberikan oleh P(E) = |E|/|S|
Dalam definisi ini, baik E maupun S adalah himpunan, dengan demikian tanda |-| melambangkan kardinalitas atau banyaknya anggota dari himpunan. Nilai peluang mempunyai rentang dari 0 (berkaitan dengan peristiwa yang tidak pernah terjadi) sampapi 1 (untuk peristiwa yang pasti terjadi).
Peluang diskrit mempunyai sifat sebagai berikut :
1. 0 £ p(xi) £ 1, yaitu nilai peluang adalah bilangan tidak negatif dan selalu lebih kecil atau sama dengan 1.
2. S p (xi) = 1, yaitu jumlah peluang semua titik contoh di dalam ruang contoh S adalah 1.
Contoh 6.54 :
Pada pelemparan dadu, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Peluang munculnya setiap angka adalah sama yaitu 1/6
Contoh 6.56 :
Dari contoh 6.30
Munculnya sisi A sebanyak 3 (tiga) kali adalah C (4, 3) = 4
Jumlah seluruh hasil percobaan adalah 2x2x2x2 = 16,
sehingga peluang munculnya sisi A sebanyak 3 kali
adalah 4/16 = 1/4
Kejadian (Event)
Kejadian atau event disimbolkan E
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh.
Kejadian yang hanya mengandung satu titik contoh disebut kejadian sederhana dan kejadian yang mengandung lebih dari satu titik contoh disebut kejadian majemuk.
Definisi Kejadian
Definisi 6.5:
Peluang kejadian E di dalam ruang contoh S adalah p(E) = |E|/|S|
Peluang kejadian E juga dapat diartikan sebagai jumlah peluang semua titik contoh di dalam E.
(6.7)
Contoh 6.57 :
Pada percobaan melempar dadu
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Kejadian munculnya angka ganjil adalah
E = {1, 3, 5}
Disini |S| = 6 dan |E| = 3
Kejadian munculnya angka ganjil adalah 3/6 = ½
Peluang setiap titik contoh didalam E adalah 1/6,
sehingga p (E) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½
contoh 6.59 :
Jumlah cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 kartu =
C(52, 5).
Jumlah cara mengambil satu jenis kartu dari 13 jenis
yang ada = C(13, 1).
Jumlah cara mengambil 4 kartu dari 4 kartu yang sejenis =
C(4, 4).
Jumlah cara mengambil satu kartu lagi dari 48 kartu yang
tersisa = C(48, 1).
Sehingga, peluang dari 5 kartu tersebut mengandung
4 kartu sejenis
Konsep teori himpunan pada peluang diskrit.
Misalkan diketahui dua buah himpunan A dan B adalah dua kejadian di dalam ruang contoh S.
1. Kejadian bahwa A dan B terjadi sekaligus berarti sama dengan munculnya salah satu titik contoh di dalam himpunan AÇB.
Peluang kejadian A dan B adalah :
(6.8)
2. Kejadian bahwa A atau B atau keduanya terjadi berarti sama dengan munculnya salah satu titik contoh di dalam AÈB.
Peluang terjadinya kejadian A atau B atau keduanya adalah :
3. Kejadian bahwa A terjadi tetapi B tidak terjadi, berarti sama dengan munculnya salah satu titik contoh di dalam A – B.
Peluang terjadinya kejadian A tetapi B tidak terjadi, adalah :
4. Kejadian bahwa salah satu dari A dan B terjadi namun bukan keduanya, berarti sama dengan munculnya salah satu titik contoh di dalam A Å B.
Peluang terjadinya salah satu dari A dan B namun bukan keduanya adalah :
5. (Komplemen) Peluang bahwa kejadian Ā, komplemen dari kejadian A, terjadi adalah
p (Ā) = 1 – p (A)
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
a. Contoh percobaan :
1. Melempar dadu
2. Melempar koin uang Rp. 500
3. Memilih lima orang wakil dari 100 orang mahasiswa
4. Menyusun jumlah kata yang panjangnya 5 huruf
b. Kaidah dasar menghitung yang digunakan dalam kombinatorial :
1. kaidah perkalian dan
2. kaidah penjumlahan.
c. Perluasan Kaidah Menghitung
p1 x p2 x … x pn untuk kaidah perkalian
p1 + p2+ … + pn untuk kaidah perjumlahan
d. Prinsip Inklusi dan Eksklusi
Prinsip Inklusi dan Eksklusi merupakan perluasan ide dalam Diagram Venn beserta operasi irisan dan gabungan
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
e. Permutasi
Definisi : Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.
r £ n
f. Kombinasi
Kombinasi r elemen dari n elemen adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.
g. Komninasi dan Permutasi Bentuk Umum
Dinamakan kombinasi bentuk umum (generalized combination)
Kita dapat melihat bahwa tidak ada perbedaan antara permutasi bentuk umum dengan kombinasi bentuk umum.Keduanya dapat dihitung dengan rumus yang sama
h. Kombinasi dengan Pengulangan
1. Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah C(n, r)
2. Jika masing-masing kotak boleh diisi lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola), maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah
C(n + r – 1, r)
i. Koefisien Binomial
Teorema Binomial
Misalkan x dan y adalah peubah, dan n adalah bilangan bulat tak-negatif, Maka
( x + y )n = Σ C(n,k) xn-k yk
j. Prinsip Sarang Merpati
Jika (k + 1) atau lebih obyek ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat dua atau lebih obyek tersebut.
k. Peluang Diskrit
Definisi
Besarnya peluang suatu peristiwa E terjadi, yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S dimana setiap peristiwa didalamnya memililki peluang yang sama untuk terjadi diberikan oleh P(E) = |E|/|S|
DAFTAR PUSTAKA
Munir, Rinaldi, Diktat Kuliah Struktur Diskrit, Departemen Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung, 2004.
http://www.math.itb.ac.id/~diskrit/Kuliah6baru.ppt
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
Postingan
0 komentar:
Posting Komentar